某些非凸域上扭转问题的谱间隙

本文研究如下扭转问题 \begin{equation*} \begin{cases} -\Delta u=1~&\mbox{in}\ \Omega,\\[1mm] u=0~&\mbox{on}\ \partial\Omega. \end{cases} \end{equation*} 设 $\Omega\subset \mathbb{R}^2$ 为有界凸区域，$u_0(x)$ 为上述问题的解，其最大值点 $y_0\in \Omega$。Steinerberger 证明了存在普适常数 $c_1, c_2>0$ 满足 \begin{equation*} \lambda_{\max}\left(D^2u_0(y_0)\right)\leq -c_1\mbox{exp}\left(-c_2\frac{\text{diam}(\Omega)}{\mbox{inrad}(\Omega)}\right). \end{equation*} 并提出如下公开问题：“上述结果在并非凸而仅是单连通或有界的区域上是否成立？证明以非常本质的方式使用了区域 $\Omega$ 的凸性，我们不清楚该结论在其他情形下是否仍然成立。”本文借助涉及格林函数计算的新思路，对某些非凸光滑有界区域计算了谱间隙 $\lambda_{\max}D^2u(y_0)$，从而对上述问题给出否定回答。同时也给出了一些推广。