关于最大化扭转函数梯度的凸区域
偏微分方程分析
2025-05-08 v2 复变函数
摘要
我们考虑在凸区域Ω⊂R^2上满足Dirichlet边界条件u=0的方程-Δu=1的解。我们主要关注||∇u||_{L^∞}的行为，也称为弹性理论中的最大剪应力，由Saint Venant于1856年首次研究。我们考虑两个形状优化问题：||∇u||_{L^∞}/|Ω|^{1/2}和||∇u||_{L^∞}/H^1(∂Ω)。数值上，每个泛函的极值区域看起来有点像圆角的字母'D'。我们证明：(1)要么极值区域没有C^{2+ε}边界，要么(2)在∂Ω上存在无穷多个曲率为零的点。这两种情况似乎都很有趣，并且在此类问题中很少遇到。技术基于仅使用共形几何和经典扰动参数找到泛函的表示。
引用
@article{arxiv.2504.07340,
title = {On convex domains maximizing the gradient of the torsion function},
author = {Linhang Huang},
journal= {arXiv preprint arXiv:2504.07340},
year = {2025}
}
备注
31 pages, 8 figures