扭转函数最大梯度优化器的几何性质

考虑 $J(\Omega):= \|\nabla u_\Omega\|_\infty/\sqrt{|\Omega|}$ 和 $J_P(\Omega):= \|\nabla u_\Omega\|_\infty/P(\Omega)$，其中 $\Omega$ 为平面凸区域，$u_\Omega$ 为扭转函数，$P(\Omega)$ 为 $\Omega$ 的周长，$|\Omega|$ 为其面积。我们证明了存在使泛函 $J$ 和 $J_P$ 最大化的平面凸区域，且任意极大值点的边界为 $C^1$ 类，并包含一段 $|\nabla u_\Omega|$ 取得最大值的线段。