平面上最优凸形状的正则性与奇异性

我们在此聚焦于分析凸平面集合中形状优化问题解 $\Om_{0}$ 的正则性或奇异性，即：$$J(\Om_{0})=\min\{J(\Om),\ \Om\ \textrm{convex},\ \Omega\in\mathcal S_{ad}\},$$ 其中 $\mathcal S_{ad}$ 是二维容许形状的集合，$J:\mathcal{S}_{ad}\rightarrow\R$ 是形状泛函。我们的主要目标是利用一阶和二阶最优性条件获得这些最优形状的定性性质，包括由凸性约束导致的无限维 Lagrange 乘子。我们证明了两类结果：i) 在泛函 $J$ 的合适凸性条件下，我们证明 $\Omega_0$ 是一个 $W^{2,p}$ 集合，$p\in[1,\infty]$。例如，当形状泛函可以写为 $J(\Omega)=R(\Omega)+P(\Omega)$ 时，此结果适用于 $p=\infty$ 的情况，其中 $R(\Om)=F(|\Om|,E_{f}(\Om),\la_{1}(\Om))$ 涉及面积 $|\Omega|$、Dirichlet 能量 $E_f(\Omega)$ 或 Laplace-Dirichlet 算子的第一特征值 $\lambda_1(\Omega)$，而 $P(\Omega)$ 是 $\Om$ 的周长；ii) 在泛函 $J$ 的合适凹性假设下，我们证明 $\Omega_{0}$ 是一个多边形。例如，当泛函写为 $J(\Om)=R(\Omega)-P(\Omega)$ 时，此结果适用，记号同上。