支持物理问题边界条件的区域的数值形状与拓扑优化

本文涉及一种特定类型的形状和拓扑优化问题：优化设计是一个区域 G，位于给定域 Ω 的边界 ∂Ω 上，用于支撑所考虑的物理问题中的特定类型的边界条件。在我们的分析中，我们发展出针对函数的“bulk”域量化导数的适应版本，这些导数通常针对形状和拓扑导数而设计。这导致两种互补的导数概念，用于依赖于区域 G ⊂ ∂Ω 的感兴趣量 J(G)：其次，我们在 Hada 边变方法的基础上，评估 J(G) 相对于 G 边界在 ∂Ω 内的“小”扰动的灵敏度；其次，我们使用渐近分析技术来评估 J(G) 相对于向区域 G 添加新连通分量的灵敏度（该分量形状为“小”表面盘）。两种类型导数的计算都提出了原创性难题，这些问题在基于导电方程的简单数学环境中仔细详细地阐述了。我们提出了以最小技术性处理导数的正式论证，展示了如何将其推广以处理更复杂的问题，例如在声学和结构力学情境中分别由 Helmholtz 方程和线性弹性方程支配的问题。在数值应用中，我们的导数被纳入一种最新算法框架，用于跟踪区域 G 在固定环境表面内的任意剧烈运动，这种框架将水平集方法与重网格技术相结合，为演化区域提供清晰、贴合身体的离散化。最后，呈现了各种三维数值示例，以说明我们分析的显著特征。