拓扑导数的自动计算及其在非线性弹性与反应扩散问题中的应用
最优化与控制
2022-07-20 v1
摘要
尽管拓扑导数在拓扑优化和反问题中的应用已被证明很有用，但其数学上严格的推导仍是一个持续的研究课题，特别是在非线性偏微分方程（PDE）约束的背景下。我们提出了一种系统但形式化的方法，用于计算一大类PDE约束拓扑优化问题相对于任意包含形状的拓扑导数。考虑了二维和三维空间中的标量和向量值以及线性和非线性椭圆PDE约束，包括非线性弹性模型和非线性反应扩散问题。该系统化流程遵循计算拓扑导数的拉格朗日方法。对于已知精确公式的问题，数值计算值显示出良好的一致性。此外，通过将计算值代入拓扑渐近展开式，我们验证了所获得的值对于其他先前未知的问题也满足预期行为，表明该流程的正确性。我们提出了一种适用于一大类问题的拓扑导数系统计算方法。最值得注意的是，我们的方法涵盖了非线性弹性问题的拓扑导数，这是文献中尚未报道的。
引用
@article{arxiv.2107.09963,
title = {Automated computation of topological derivatives with application to nonlinear elasticity and reaction-diffusion problems},
author = {Peter Gangl and Kevin Sturm},
journal= {arXiv preprint arXiv:2107.09963},
year = {2022}
}