黎曼流形上扭转刚度的最大化

设 $\,(M,g)\,$ 为一个 $n$ 维黎曼流形，$\,\Omega\,$ 为 $\,M$ 中的任意紧致连通区域。我们研究在给定体积 $v$ 的所有区域中，寻找泛函 $\, {\mathcal E} (\Omega)\,$（称为与 $\Omega$ 相关的{\em 扭转刚度}）的{\em 最大值}问题。我们的结果表明，对于在某一点严格等周化的给定黎曼流形，该泛函的最大值由以该点为中心的测地球实现。更一般地，我们通过与其对称化区域的比较，证明了泛函 $\, {\mathcal E} (\Omega)\,$ 的估计式。我们还研究了在 $\,(M,g)\,$ 和 $\Omega$ 的几何结构满足特定条件下，寻找泛函 $\, {\mathcal E} (\Omega)\,$ 的尖锐上界。最后，我们根据等周 Cheeger 常数找到了 $\, {\mathcal E} (\Omega)\,$ 的一个普适上界。