关于非线性泊松方程解的单调性

我们考虑域 $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ 中的非线性泊松方程 $-\Delta u = f(u)$，并在 $\partial \Omega$ 上带有狄利克雷边界条件。我们证明（对于具有小利普希茨常数的单调递增凹函数 $f$），若 $D^2 u$ 在边界上半负定，则 $u$ 是凹的。Saint Venant 于1856年提出（由 Polya 于1948年证明）的一个猜想是：在固定测度的所有域 $\Omega$ 中，方程 $-\Delta u =1$ 的解在 $\Omega$ 为球时取得最大最大值。我们将此推广到单调递增且具小利普希茨常数的 $f$ 所对应的 $-\Delta u =f(u)$。