平面亥姆霍兹方程超定问题的非对称解

在本注记中，我们构造了光滑有界区域 $\Omega \subset \mathbb{R}^2$，这些区域除圆盘外，使得超定问题 $$\left\{ \begin{alignedat}{2} \Delta u + \lambda u &= 0 &\qquad& \text{在 } \Omega \text{ 内}, \\ u &= b &\qquad& \text{在 } \partial\Omega \text{ 上}, \\ \frac{\partial u}{\partial n} &= c &\qquad& \text{在 } \partial\Omega \text{ 上} \end{alignedat} \right.$$ 对某些常数 $\lambda, b, c \neq 0$ 有解。这些似乎是 Willms 和 Gladwell [WG94] 猜想的首个反例。