圆柱中相对超定扭转问题的非平凡解

给定一个有界正则区域$\omega \subset \mathbb{R}^{N-1}$和半圆柱$\Sigma = \omega \times (0,+\infty)$，我们考虑$\Sigma$中的相对超定扭转问题，即\left\{ \begin{array}{ll} \Delta {u}+1=0 &\mbox{in $\Omega$},\newline \partial_\eta u = 0 &\mbox{on $\widetilde \Gamma_\Omega$},\newline u=0 &\mbox{on $\Gamma_\Omega$},\newline \partial_{\nu}u =c &\mbox{on $\Gamma_\Omega$}. \end{array} \right.其中$\Omega \subset \Sigma$，$\Gamma_\Omega = \partial \Omega \cap \Sigma$，$\widetilde \Gamma_\Omega = \partial \Omega \setminus \Gamma_\Omega$，$\nu$是$\Gamma_\Omega$上的外单位法向量，$\eta$是$\widetilde \Gamma_\Omega$上的外单位法向量。我们在某些非恒定函数$v : \overline{\omega} \to (0, + \infty)$的次图区域$\Omega$中构造了该问题的非平凡解。这样的解可以关于$\omega$反射，从而给出圆柱中相对超定扭转问题的非平凡解。证明使用了局部分支论证，值得注意的是，该论证对任何一般基$\omega$都适用。