分数阶 Hadamard 公式及其应用

我们考虑次临界分数阶 Sobolev 常数中最佳常数对区域的依赖性，$$\lambda_{s,p}(\Omega):=\inf \left\{ [u]_{H^s(\mathbb{R}^N)}^2,\,\, u\in C^\infty_c(\Omega),\,\, \|u\|_{L^p(\Omega)}=1 \right\},$$ 其中 $s\in (0,1)$，$\Omega$ 为 $C^{1,1}$ 类有界区域，且当 $2s<N$ 时 $p\in [1, \frac{2N}{N-2s})$，当 $2s\geq N=1$ 时 $p\in [1, \infty)$。我们显式地推导了映射 $\Omega\mapsto \lambda_{s,p}(\Omega)$ 在区域扰动下的单侧形状导数公式。在 $\lambda_{s,p}(\Omega)$ 存在唯一正极小元（例如 $p=1$ 或 $p=2$）的情形下，我们的结果给出了 $\Omega$ 上 Dirichlet Laplacian 第一特征值经典变分 Hadamard 公式的非局部版本。借助单侧形状导数公式，我们刻画了在保体积形变下 $\lambda_{s,p}(\Omega)$ 的光滑局部极小元，并发现当 $p\in \{1\}\cup [2,\infty)$ 时它们为球。最后，我们在固定体积的环形区域 $B\setminus \overline B'$ 类中考虑 $\lambda_{s,p}(\Omega)$ 的极大化问题，其中 $B$ 为固定球，$B'$ 为在 $B$ 内改变位置的球。我们证明，对于 $p\in \{1,2\}$，$\lambda_{s,p}(B\setminus \overline B')$ 在两球同心时取最大值。