最佳 Sobolev 常数及其极值函数的渐近性

设 $\Omega$ 为 $\mathbf{R}^{N}$ ($N\geq2$) 中的有界域。对于 $p>N$，令 $$\Lambda_{p}(\Omega):=\inf\left\{ \left\Vert \nabla u\right\Vert _{p}^{p}:u\in W_{0}^{1,p}(\Omega)\quad and\quad\left\Vert u\right\Vert _{\infty}=1\right\} .$$ 我们首先证明 $$\lim_{p\rightarrow\infty}\Lambda_{p}(\Omega)^{\frac{1}{p}}=\frac{1}{\left\Vert \rho\right\Vert _{\infty}},$$ 其中 $\rho$ 表示到边界的距离函数。进而，我们证明（取子列后）$\Lambda_{p}(\Omega)$ 的极值函数在 $p\rightarrow\infty$ 时收敛到穿孔 $\Omega$ 中涉及无穷拉普拉斯算子的特定 Dirichlet 问题的粘性解。