与奇异问题相关的分数 Sobolev 不等式极值元的渐近行为

设 $\Omega$ 为 $\mathbb{R}^{N}$ 中光滑有界域，$\omega$ 为正、$L^{1}$-归一化函数，且 $0<s<1<p$。我们研究当 $p\rightarrow\infty$ 时数对 $\left( \sqrt[p]{\Lambda_{p}},u_{p}\right)$ 的渐近行为，其中 $\Lambda_{p}$ 为 Sobolev 型不等式 $$C\exp\left( \int_{\Omega}(\log\left\vert u\right\vert ^{p})\omega \mathrm{d}x\right) \leq\left[ u\right] _{s,p}^{p}\quad\forall\,u\in W_{0}^{s,p}(\Omega)$$ 中的最佳常数 $C$，$u_{p}$ 为对应于 $\Lambda_{p}$ 的经适当归一化的正极值函数。我们证明极限数对与最小化商 $\left\vert u\right\vert _{s}/\exp\left( \int_{\Omega}(\log\left\vert u\right\vert )\omega \mathrm{d}x\right)$ 的问题密切相关，其中 $\left\vert u\right\vert _{s}$ 表示函数 $u\in C_{0}^{0,s}(\overline{\Omega})$ 的 $s$-Hölder 半范数。