通过几何 Sobolev 型不等式研究 $p$-Laplace 方程稳定解的正则性

在本文中，我们证明了一个涉及函数水平集的均值曲率和切向梯度的 Sobolev 型和 Morrey 型不等式，该函数出现在这些不等式中。随后，作为应用，我们在光滑有界区域 $\Omega\subset \mathbb{R}^n$ 中建立了 $-\Delta_p u= g(u)$ 半稳定解的 \textit{a priori} 估计。特别地，当区域严格凸时，我们获得了极值解 $u^\star$ 的新 $L^r$ 和 $W^{1,r}$ 界。更确切地说，我们证明了若 $n\leq p+2$，则 $u^\star\in L^\infty(\Omega)$；若 $n>p+2$，则 $u^\star\in L^{\frac{np}{n-p-2}}(\Omega)\cap W^{1,p}_0(\Omega)$。