超标定$p-拉普拉斯$问题的Modica型估计与曲率结果

本文证明了以下超标定$p-拉普拉斯$问题的Modica型估计：\n\begin{equation*} \begin{cases} \mathrm{div} \left(|\nabla u|^{p-2}\nabla u\right)+f(u) =0& \mbox{in $\Omega$, } u>0 &\mbox{in $\Omega$, } u=0 &\mbox{on $\partial\Omega$, } \partial_{\nu} u=-\kappa &\mbox{on $\partial\Omega$, } \end{cases} \end{equation*}其中$1<p<+\infty$，$f\in C^1(\mathbb{R})$，$\Omega \subset \mathbb{R}^n$（$n\geq 2$）为$C^1$域（有界或无界），$\nu$为$\partial \Omega$的外单位法向量，$\kappa\geq 0$为常数。基于Modica型估计，我们获得了有界解的刚性结果。特别地，我们证明如果存在一个非正原函数$F$满足$F(0)\geq -(p-1)\kappa^p / p$（对于$p>2$我们还假设如果$F(u_0)=0$，$F(u)=O(|u-u_0|^p)$当$u\rightarrow u_0$），则$\partial \Omega$的均曲率要么严格为负，要么$\Omega$为半平面。