具有 VMO 系数的 p-Laplacian 偏微分方程弱解的 Hölder 连续性

我们考虑 $p$-Laplacian 偏微分方程 \begin{equation} \nabla\cdot\big(a(x)|Du|^{p-2}Du\big)=0,\notag \end{equation} 在 $x\in\Omega\subseteq\mathbb{R}^{n}$ 中的解 $u\in W^{1,p}\big(\Omega;\mathbb{R}^{N}\big)$，其中 $\Omega$ 为开且有界集。更一般地，我们考虑椭圆系统 \begin{equation} \nabla\cdot\left(a(x)g'\big(a(x)|Du|\big)\frac{Du}{|Du|}\right)=0\text{, }x\in\Omega\notag \end{equation} 的解，以及泛函 \begin{equation} \int_{\Omega}g\big(a(x)|Du|\big)\ dx.\notag \end{equation} 的极小元。在每种情形下，系数映射 $a\ : \ \Omega\rightarrow\mathbb{R}$ 仅假设属于 $VMO(\Omega)\cap L^{\infty}(\Omega)$，这意味着它可能是不连续的。在不假设 $x\mapsto a(x)$ 具有任何弱可微性的条件下，我们证明了对每个 $0<\alpha<1$ 有 $u\in\mathscr{C}_{\text{loc}}^{0,\alpha}(\Omega)$。前述结果事实上是一个更一般结果的推论，该结果适用于泛函 \begin{equation} \int_{\Omega}f\big(x,u,Du\big)\ dx\notag \end{equation} 在 $f$ 仅为渐近凸的情形。