具有不连续系数的 p(x)-拉普拉斯偏微分方程解的偏正则性

对于 $\Omega\subseteq\mathbb{R}^{n}$ 为开有界区域，我们考虑解 $u\in W_{\text{loc}}^{1,p(x)}\big(\Omega;\mathbb{R}^{N}\big)$（其中 $N>1$）满足 $p(x)$-拉普拉斯方程组 \begin{equation} \nabla\cdot\left(a(x)|Du|^{p(x)-2}Du\right)=0\text{, a.e. }x\in\Omega,\notag \end{equation} 关于系数函数 $x\mapsto a(x)$ 我们仅假设 \begin{equation} a\in W^{1,q}(\Omega)\cap L^{\infty}(\Omega),\notag \end{equation} 其中 $q>1$ 本质上任意。这意味着偏微分方程中的系数可能高度不规则，尽管如此我们仍得到 \begin{equation} u\in\mathscr{C}_{\text{loc}}^{0,\alpha}\big(\Omega_0\big),\notag \end{equation} 对每个 $0<\alpha<1$ 成立，其中 $\Omega_0\subseteq\Omega$ 为满测度集。由于我们采用的变分方法，我们的结果适用于积分泛函 \begin{equation} \int_{\Omega}a(x)|Du|^{p(x)}\ dx.\notag \end{equation} 正则性的更一般问题。