度量测度空间中广义 $p$-调和函数的先验 H"older 和 Lipschitz 正则性

设 $(\mathbb{X} , d, \mu )$ 为一个 proper 度量测度空间，$\Omega \subset \mathbb{X}$ 为一个有界区域。对于每个 $x\in \Omega$，我们选择一个半径 $0< \varrho (x) \leq \mathrm{dist}(x, \partial \Omega )$，并令 $B_x$ 为以 $x$ 为中心、半径为 $\varrho (x)$ 的闭球。若 $\alpha \in \mathbb{R}$，考虑 $C( \overline{\Omega} )$ 中的如下算子：$$\mathcal{T}_{\alpha}u(x)=\frac{\alpha}{2}\left(\sup_{B_x } u+\inf_{B_x } u\right)+(1-\alpha)\,\frac{1}{\mu(B_x)}\int_{B_x}\hspace{-0.1cm} u\ d\mu.$$ 在对 $\alpha$、$\mathbb{X}$、$\mu$ 和半径函数 $\varrho$ 的适当假设下，我们证明了泛函方程 $\mathcal{T}_{\alpha}u = u$ 的解 $u\in C( \overline{\Omega} )$ 在 $\Omega$ 内满足局部 H"{o}lder 或 Lipschitz 条件。其动机来源于欧几里得区域中所谓的 $p$-调和函数。