关于无界 Lipschitz 域上调和函数 H"older 连续性的等价条件

我们的主要结果关乎边界调和函数在 $\mathbb{R}^N$ 中域上的行为，该域可表示为 $\mathbb{R}^{N-1}$ 上 Lipschitz 函数的严格上纸面。一般而言，该结果表明，调和函数在此类域上的 H"older 连续性等价于沿由向量 $\mathbf{e}_N$ 确定的直线上的均匀 H"older 连续性，其中 $\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\dots,\mathbf{e}_N$ 为 $\mathbb{R}^N$ 中的标准基矢。更精确地，设 $\Psi$ 为 $\mathbb{R}^{N-1}$ 上的 Lipschitz 函数，$U$ 为 $E_\Psi=\{(x',x_N): x'\in\mathbb{R}^{N-1}, x_N>\Psi(x')\}$ 上取有界实值的调和函数。我们证明对于 $\alpha\in(0,1)$，以下两个关于 $U$ 的条件等价：(a)存在常数 $C$ 使得\n\begin{equation*}\n| U(x',x_N) - U(x',y_N)|\le C |x_N - y_N|^\alpha,\quad x'\in \mathbb{R}^{N-1}, x_N, y_N > \Psi (x');\n\end{equation*}\n(b)存在常数 $\tilde{C}$ 使得\n\begin{equation*}\n|U(x) - U (y)|\le \tilde{C} |x-y|^\alpha,\quad x, y\in E_\Psi.\n\end{equation*}\n此外，常数 $\tilde{C}$ 线性依赖于 $C$。该结果同样适用于向量型调和函数，从而适用于解析映射。