Lipschitz 域上 Laplacian Dirichlet 问题的最大正则性

本文聚焦于有界 Lipschitz 域上的齐次与非齐次 Dirichlet 问题。尽管该问题已被众多作者广泛研究，但我们欲回归诸多根本性问题与已知结果，包括迹（traces）与解的 maximal 正则性。首先，为处理非齐次边界条件，我们严格定义了非正则函数的迹概念。该方法取代了自 1980 年代以来文献中占主导地位的非切向迹概念。我们识别出一个函数空间 E = \{v\in H^{1/2}(\Omega);\nabla v\in [H^1/2(\Omega)]'\}，其中从 E 到 $L^2(\Gamma)$ 的迹算子是连续的。其次，我们关注满足齐次 Dirichlet 条件的 Laplace 方程解的正则性。利用分数 Sobolev 空间中的特定等价范数结合 Grisvard 关于多边形与多面体域的结果，我们证明在任意有界 Lipschitz 域 $\Omega$ 中，最大正则性 $H^{3/2}$ 成立，且适用于右端项在 $H^{1/2}_{00}(\Omega)$ 双线性空间内的情形。这一结论与自 1990 年代以来文献中的普遍主张相矛盾。第三，我们描述若干准则，以建立 Lipschitz 域中调和函数的新唯一性结果。特别是，我们证明若 $u\in H^{1/2}(\Omega)$ 或 $u\in W^{1, 2N/(N+1)}(\Omega)$，且在 $\Omega$ 中为调和函数且在 $\Gamma$ 上为零，则 $u= 0$。这些准则在推导正则性性质方面起核心作用。最后，我们重访经典的面积积分估计。利用 Grisvard 的工作以及 Necas 提供的显式函数，我们表明该不等式无法以其原式形式成立。由于该估计长期被用于论证 $H^{3/2}$ 正则性在 $H^{1/2}_{00}(\Omega)$ 双线性空间数据情形下不可达，故我们的反例提供了决定性的澄清。