不变 Laplacian 狄利克雷问题解的 Lipschitz 连续性

本短注的动机源于试图理解 $\mathbb{R}^n$ 单位球上 Laplace 算子与双曲 Laplacian 在相应狄利克雷问题解的 Lipschitz 连续性方面的区别。我们研究狄利克雷问题 \begin{equation*} \left\{\begin{array}{ll} \Delta_{\vartheta} u = 0, & \text{ in }\, \mathbb{B}^n,\\ u=\phi, & \text{ on }\, \mathbb{S}^{n-1}, \end{array}\right. \end{equation*} 其中 $$\Delta_{\vartheta} := (1-|x|^2) \bigg\{ \frac {1-|x|^2} {4} \Delta + \vartheta \sum_{j=1}^n x_{j} \frac {\partial } {\partial x_j} + \vartheta \left( \frac {n}{2}-1- \vartheta \right) I\bigg\}.$$ 我们证明：当 $\vartheta > 0$ 时，边界数据的 Lipschitz 连续性总蕴含解的 Lipschitz 连续性；但当 $\vartheta \leq 0$ 时则不然。