双曲泊松方程解的利普希茨连续性

本文研究双曲泊松方程 $\Delta_{h}u(x)=\psi(x)$ 的解，其中 $\psi\in L^{\infty}(\mathbb{B}^{n}, \mathbb{R}^n)$ 且 $$\Delta_{h}u(x)= (1-|x|^2)^2\Delta u(x)+2(n-2)(1-|x|^2)\sum_{i=1}^{n} x_{i} \frac{\partial u}{\partial x_{i}}(x)$$ 是 $n$ 维空间 $\mathbb{R}^n$ ($n\ge 2$) 中的双曲拉普拉斯算子。我们证明若 $n\geq 3$ 且 $u\in C^{2}(\mathbb{B}^{n},\mathbb{R}^n) \cap C(\overline{\mathbb{B}^{n}},\mathbb{R}^n )$ 是双曲泊松方程的解，则它具有表示 $u=P_{h}[\phi]-G_{ h}[\psi]$，前提是 $u\mid_{\mathbb{S}^{n-1}}=\phi$ 且 $\int_{\mathbb{B}^{n}}(1-|x|^{2})^{n-1} |\psi(x)|\,d\tau(x)<\infty$。此处 $P_{h}$ 和 $G_{h}$ 分别表示关于 $\Delta_{h}$ 的泊松积分和格林积分。进一步，我们证明形如 $u=P_{h}[\phi]-G_{h}[\psi]$ 的函数是利普希茨连续的。