Hardy 空间中双曲调和映射的 Khavinson 问题

本文在 Hardy 空间中双曲调和映射的设定下部分解决了广义 Khavinson 猜想。设 $u=\mathcal{P}_{\Omega}[\phi]$ 且 $\phi\in L^{p}(\partial\Omega, \mathbb{R})$，其中 $p\in[1,\infty]$，$\mathcal{P}_{\Omega}[\phi]$ 表示 $\phi$ 关于 $\Omega$ 中双曲 Laplacian 算子 $\Delta_{h}$ 的 Poisson 积分，$\Omega$ 表示单位球 $\mathbb{B}^{n}$ 或半空间 $\mathbb{H}^{n}$。对任意 $x\in \Omega$ 和 $l\in \mathbb{S}^{n-1}$，令 $\mathbf{C}_{\Omega,q}(x)$ 和 $\mathbf{C}_{\Omega,q}(x;l)$ 分别表示梯度估计 $$|\nabla u(x)|\leq \mathbf{C}_{\Omega,q}(x)\|\phi\|_{ L^{p}(\partial\Omega, \mathbb{R})}$$ 与方向 $l$ 上的梯度估计 $$|\langle\nabla u(x),l\rangle|\leq \mathbf{C}_{\Omega,q}(x;l)\|\phi\|_{ L^{p}(\partial\Omega, \mathbb{R})}$$ 的最优常数。此处 $q$ 为 $p$ 的共轭指数。若 $q=\infty$ 或 $q\in[\frac{2K_{0}-1}{n-1}+1,\frac{2K_{0}}{n-1}+1]\cap [1,\infty)$ 且 $K_{0}\in\mathbb{N}=\{0,1,2,\ldots\}$，则对任意 $x\in\mathbb{B}^{n}\backslash\{0\}$ 有 $\mathbf{C}_{\mathbb{B}^{n},q}(x)=\mathbf{C}_{\mathbb{B}^{n},q}(x;\pm\frac{x}{|x|})$，且对任意 $x\in \mathbb{H}^{n}$ 有 $\mathbf{C}_{\mathbb{H}^{n},q}(x)=\mathbf{C}_{\mathbb{H}^{n},q}(x;\pm e_{n})$，其中 $e_{n}=(0,\ldots,0,1)\in\mathbb{S}^{n-1}$。然而，若 $q\in(1,\frac{n}{n-1})$，则对任意 $x\in\mathbb{B}^{n}\backslash\{0\}$ 有 $\mathbf{C}_{\mathbb{B}^{n},q}(x)=\mathbf{C}_{\mathbb{B}^{n},q}(x;t_{x})$，且对任意 $x\in \mathbb{H}^{n}$ 有 $\mathbf{C}_{\mathbb{H}^{n},q}(x)=\mathbf{C}_{\mathbb{H}^{n},q}(x;t_{e_{n}})$。此处 $t_{w}$ 表示 $\mathbb{R}^{n}$ 中任一满足对 $w\in \mathbb{R}^{n}\setminus\{0\}$ 有 $\langle t_{w},w\rangle=0$ 的单位向量。