Khavinson 猜想的一个证明

本文处理单位球 $\mathbb{B}^n$ 中有界调和函数的极值问题。我们解决了 $\mathbb{R}^3$ 中的 Khavinson 猜想，这是 D. Khavinson 自 1992 年提出的一个引人入胜的开放问题，后来 Kresin 和 Maz'ya 在一般背景下进行了考虑。确切地，我们得到如下不等式：$$|\nabla u(x)|\leq \frac{1}{\rho^2}\bigg({\frac{(1+\frac{1}{3}\rho^2)^{\frac{3}{2}}}{1-\rho^2}-1}\bigg) \sup_{|y|<1} |u(y)|,$$ 其中 $\rho=|x|$, 从而将先前已知的以 $|\langle \nabla u(x),n_{x} \rangle |$ 代替 $|\nabla u(x)|$ 的结果 sharpen，其中 $n_{x}=\frac{x}{|x|}$。