关于散度形式变换 $n$-Laplace 系统的极限 Calderon-Zygmund 理论的一个注记

我们考虑单位球 $B_1 \subset \mathbb{R}^n$ 上如下形式的旋转 $n$-Laplace 系统：\begin{align*} -\mathrm{div}\left( Q|\nabla u|^{n-2} \nabla u\right) = \mathrm{div}(G), \end{align*} 其中 $u\in W^{1,n}(B_1;\mathbb{R}^N)$，$Q\in W^{1,n}(B_1;SO(N))$ 且 $G\in L^{\left( \frac{n}{n-1},q \right)}(B_1;\mathbb{R}^n\otimes \mathbb{R}^N)$（对于某个 $0<q<\frac{n}{n-1}$）。我们证明 $\nabla u\in L^{(n,q(n-1))}_{loc}$ 并给出了相应估计。作为推论，我们得到 $\Delta_n u \in \mathcal{H}^1$（其中 $\mathcal{H}^1$ 是 Hardy 空间）的解具有高阶可积性，即 $\nabla u \in L^{(n,n-1)}_{loc}$。