洛伦兹空间中具有反对称势的 n-拉普拉斯系统的正则化性质

我们证明了当 $\Omega$ 为 $L^n$-反对称势——且额外满足洛伦兹空间假设时，系统 $$-{\rm div} (|\nabla u|^{n-2} \nabla u) = \Omega \cdot |\nabla u|^{n-2} \nabla u$$ 的解 $u \in W^{1,n}(B^n,\mathbb{R}^N)$ 的连续性。为获得该结果，我们研究旋转后的 n-拉普拉斯系统 $$-{\rm div} (Q|\nabla u|^{n-2} \nabla u) = \tilde{\Omega} \cdot |\nabla u|^{n-2} \nabla u,$$ 其中 $Q \in W^{1,n}(B^n,SO(N))$ 是确保 $\tilde{\Omega}$ 洛伦兹空间可积性改善的库仑规范。由于矩阵项 $Q$，该系统不直接落入 Kuusi-Mingione 的向量势理论。然而，我们将其理论思想与 Iwaniec 的稳定性结果相结合，获得解梯度的 $L^{(n,\infty)}$-估计，并通过迭代论证导出解的正则性。作为我们论证的推论，可见若 $n$-调和映射至流形的梯度属于洛伦兹空间 $L^{(n,2)}$，则该映射连续——当 $n=2$ 时这是平凡且最优的假设，且是迄今临界 $n$-调和映射正则性所需的最弱假设，无需任何附加可微性假设。我们还讨论了在 H 系统中的一个应用。