极小调和映射奇异集的大小

我们考虑从 $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ 到闭黎曼流形 $\mathcal{N}$ 的极小调和映射 $u$，并证明：(1) 将 Almgren 与 Lieb 的线性律推广到 $n \geq 4$。即，若目标流形 $\mathcal{N}$ 的基本群有限，则有 $$\mathcal{H}^{n-3}(\textrm{sing } u) \le C \int_{\partial \Omega} |\nabla_T u|^{n-1} \,d \mathcal{H}^{n-1};$$ (2) 将 Hardt 与 Lin 的稳定性定理推广。即，假设目标流形为 $\mathcal{N}=\mathbb{S}^2$，我们得到 $u$ 的奇异集在边界数据的微小 $W^{1,n-1}$ 扰动下是稳定的。在维数 $n=3$ 时，两个结果均在更弱假设下成立，即仅假设映射的迹属于分数阶空间 $W^{s,p}$，其中 $s \in (\frac{1}{2},1]$ 且 $p \in [2,\infty)$ 满足 $sp \geq 2$。我们还讨论了尖锐性。