同伦类中的极小 $W^{s,\frac{n}{s}}$-调和映射

设 $\Sigma$ 为闭 $n$ 维流形，$\mathcal{N} \subset \mathbb{R}^M$ 为闭流形，且 $u \in W^{s,\frac ns}(\Sigma,\mathcal{N})$，其中 $s\in(0,1)$。我们推广了 Sacks 和 Uhlenbeck 的里程碑性工作，证明若 $\pi_n(\mathcal{N})=\{0\}$，则存在与 $u$ 同伦的极小 $W^{s,\frac ns}$-调和映射。若 $\pi_n(\mathcal{N})\neq \{0\}$，则我们证明存在从 $\mathbb{S}^n$ 到 $\mathcal{N}$ 的 $W^{s,\frac{n}{s}}$-调和映射，属于 $\pi_{n}(\mathcal{N})$ 的一组生成元。由于在分数阶框架中若干技术（尤其是 Pohozaev 型论证）尚属未知（特别地，当 $\frac{n}{s} \neq 2$ 时无法借助延拓方法论证），我们发展了若干自身即具意义的关键新工具：例如点奇异性可去性结果，以及针对非尺度不变能量的平衡能量估计。此外，我们证明了到流形的极小 $W^{s,\frac{n}{s}}$-映射的正则性理论。