低次数$\varepsilon$-调和映射的刚性

1981年，Sacks和Uhlenbeck引入了著名的$\alpha$-能量，作为逼近Dirichlet能量并从曲面到Riemann流形生成调和映射的方法。然而，第二和第三作者与Malchiodi（[11]、[12]）证明了对于两个球面之间的映射，该方法并不能捕捉到每一个调和映射。他们建立了零次$\alpha$-调和映射的间隙定理，并证明了在某一能量界以下一次$\alpha$-调和映射是旋转。我们针对$\varepsilon$-调和映射$u_\varepsilon \colon S^2\rightarrow S^2$建立了类似结果，这些映射是第二作者在[9]中引入的$\varepsilon$-能量的临界点。特别地，我们同样证明了能量低于$8\pi$的零次$\varepsilon$-调和映射为常数，且能量低于$12\pi$的$\pm 1$次映射形如$Rx$，其中$R\in O(3)$。此外，我们构造了能量$> 8\pi$的非平凡零次$\varepsilon$-调和映射。