$r$ 能量泛函弱临界点的存在性与稳定性

本文的主要目标是证明某些proper弱$r$谐和映射（ES-$r$谐和映射）的存在性。我们构造属于一族旋转对称映射 $\varphi_a : B^n \to \mathbb{S}^n$ 的临界点，其中 $B^n$ 和 $\mathbb{S}^n$ 分别为$n$维欧几里得单位球和球面。我们发现，位于该族中的解的存在受特定维数 $n$ 的限制。接着，我们证明这些临界点是\textit{不稳定的}。在这一分析过程中，我们指出了在 $r \geq 4$ 时，$r$谐和与ES-$r$谐和情况之间的一些具体差异。随后，我们分析问题的两个变体。首先，用旋转对称椭球体 $E^n(b)$ 替代目标流形 $\mathbb{S}^n$，并为所有 $n \geq 5$ 建立proper弱双谐和映射的存在性，以及所有 $n \geq 7$ 建立proper弱三谐和映射的存在性。最后，我们研究类似问题，将域 $B^n$ 替换为合适的扭曲积manifold。