高阶能量泛函

高阶能量泛函的研究最早由 Eells 和 Sampson 于 1965 年提出，后来由 Eells 和 Lemaire 于 1983 年提出。这些泛函给出了经典能量泛函的自然推广。更确切地说，Eells 和 Sampson 建议研究所谓的 $ES-r$-能量泛函 $E_r^{ES}(\varphi)=(1/2)\int_{M}\,|(d^*+d)^r (\varphi)|^2\,dV$，其中 $\varphi:M \to N$ 是两个黎曼流形之间的映射。在本文的初始部分，我们将澄清关于 $ES-r$-调和映射（即 $E_r^{ES}(\varphi)$ 的临界点）定义的一些相关问题。这对我们而言似乎很重要，因为文献中其他作者已研究了其他高阶能量泛函，因此一些近期例子需要被讨论和拓展：这将在本文前两节中完成，其中我们得到了当 $N={\mathbb S}^m$ $(r \geq4,\, m\geq3)$ 时 $E_r^{ES}(\varphi)$ 的真临界点的首批例子，并且我们证明了若干一般性事实，应有助于该主题未来的发展。接下来，我们将计算 $r=4$ 时 $E_r^{ES}(\varphi)$ 的欧拉-拉格朗日方程组。我们将此结果应用于到空间形式的映射以及旋转对称映射的研究：特别地，我们将聚焦于若干共形映射族的研究。在第 4 节中，我们还将表明，即使 $2 r > \dim M$，泛函 $E_r^{ES}(\varphi)$ 也可能不满足经典的 Palais-Smale 条件 (C)。在论文的最后部分，我们将研究二阶变分并计算一些重要例子的指标与零化度。