关于高阶能量泛函赤道映射的稳定性

令 $B^n\subset {\mathbb R}^{n}$ 和 ${\mathbb S}^n\subset {\mathbb R}^{n+1}$ 分别表示 $n$ 维欧氏单位球与球面。\textit{外在 $k$-能量泛函}在索伯列夫空间 $W^{k,2}\left (B^n,{\mathbb S}^n \right )$ 上定义如下：当 $k=2s$ 时，$E_{k}^{{\rm ext}}(u)=\int_{B^n}|\Delta^s u|^2\,dx$；当 $k=2s+1$ 时，$E_{k}^{{\rm ext}}(u)=\int_{B^n}|\nabla \Delta^s u|^2\,dx$。这些能量泛函是经典外在双能量（亦称黑塞能量）的自然高阶版本。赤道映射 $u^*: B^n \to {\mathbb S}^n$，定义为 $u^*(x)=(x/|x|,0)$，在 $n \geq 2k+1$ 的条件下是 $E_{k}^{{\rm ext}}(u)$ 的一个临界点。本文的主要目的是建立关于 $k$ 和 $n$ 的必要与充分条件，以判定 $u^*: B^n \to {\mathbb S}^n$ 对于外在 $k$-能量是极小化映射还是不稳定的。