映射 x/|x| 关于加权能量的最小性

本文中，我们研究从欧氏单位球 $\mathbf{B}^n$ 到其边界 $\mathbb{S}^{n-1}$ 的映射 $\frac{x}{\|x\|}$ 对于形如 $E_{p,f}= \int_{\mathbf{B}^n}f(r)\|\nabla u\|^p dx$ 的加权能量泛函的最小性，其中 $f$ 为非负函数。我们证明在以下两种情形中每一种下：i) $p=1$ 且 $f$ 非减，ii) $p$ 为整数，$p \leq n-1$ 且 $f= r^{\alpha}$ 其中 $\alpha \geq 0$，该映射 $\frac{x}{\|x\|}$ 在与 $\frac{x}{\|x\|}$ 在 $\partial \mathbf{B}^n$ 上重合的 $W^{1,p}(\mathbf{B}^n, \mathbb{S}^{n-1})$ 中的映射里最小化 $E_{p,f}$。我们还研究 $f(r)= r^{\alpha}$ 且 $-n+2 < \alpha < 0$ 的情形，并证明当 $\alpha$ 接近 $-n+2$ 时以及当 $n \geq 6$、$\alpha$ 接近 $4-n$ 时，$\frac{x}{\|x\|}$ 不最小化 $E_{p,f}$。