高斯整数上极小欧几里得函数的初等证明

每个欧几里得整环 $R$ 都有一个极小欧几里得函数 $\phi_R$。一篇姊妹论文 \cite{Graves} 引入了计算 $\phi_{\mathbb{Z}[i]}$ 的公式。这是针对非平凡数域整数环的极小欧几里得函数的首个公式。该论文通过研究集合 $B_n = \left \{ \sum_{j=0}^n v_j (1+i)^j : v_j \in \{0, \pm 1, \pm i \} \right \}$ 的几何，并应用 Lenstra 的结果 $\phi_{\mathbb{Z}[i]}^{-1}([0,n]) = B_n$，给出了 $\phi_{\mathbb{Z}[i]}$ 的一个简短证明。Lenstra 的证明需要大量的代数背景。本文利用集合 $B_n$ 的新几何性质，在不使用 Lenstra 结果的情况下证明 $\phi_{\mathbb{Z}[i]}$ 的公式。这一新几何方法使我们仅用初等方法即可证明 Lenstra 定理。随后我们应用新公式回答 Pierre Samuel 的开放问题：$\phi_{\mathbb{Z}[i]}^{-1}(n)$ 的大小是多少？。附录给出了答案列表及相关的 SAGE 代码。