迈向欧几里得空间中稀疏降维的统一理论

设 $\Phi\in\mathbb{R}^{m\times n}$ 为一个每列含有 $s$ 个非零元素的稀疏 Johnson-Lindenstrauss 变换 [KN14]。对于单位球面的子集 $T$ 和给定的 $\varepsilon\in(0,1/2)$，我们研究了为确保 $$\mathop{\mathbb{E}}_\Phi \sup_{x\in T} \left|\|\Phi x\|_2^2 - 1 \right| < \varepsilon ,$$ 所需的 $m,s$ 设置，即确保 $\Phi$ 同时且以乘法方式将每个 $x\in T$ 的范数保持到 $1+\varepsilon$ 以内。我们引入了一个新的复杂度参数，该参数取决于 $T$ 的几何结构，并表明只需选择 $s$ 和 $m$ 使得该参数足够小即可。我们的结果是 Gordon 定理的稀疏类比，后者关注的是具有独立同分布高斯项的稠密 $\Phi$。我们在定性上统一了若干与 Johnson-Lindenstrauss 引理、子空间嵌入和基于傅里叶的受限等距性质相关的结果。我们的工作还意味着在使用稀疏 Johnson-Lindenstrauss 变换进行数值线性代数、经典和基于模型的压缩感知、流形学习以及约束最小二乘问题（如 Lasso）方面取得了新成果。