Rademacher 混沌、随机欧拉图与稀疏 Johnson-Lindenstrauss 变换

Johnson 和 Lindenstrauss 著名的降维引理在计算及其他领域有着众多应用。由于其在实践中的应用，加速 Johnson-Lindenstrauss 型降维的计算成为一个重要问题。最近，Dasgupta、Kumar 和 Sarlos (STOC 2010) 构造了一种使用稀疏矩阵的此类变换。其动机是希望在应用于稀疏输入向量时加速计算，这是应用中常见的场景。Kane 和 Nelson (ArXiv 2010) 进一步改进了其构造的稀疏性。我们将 Kane 和 Nelson 关于每列非零元素个数的先前界限从 $O(1/\epsilon \log(1/\delta)\log(k/\delta))$（其中目标维度为 $k$，畸变为 $1\pm \epsilon$，失败概率为 $\delta$）改进为 $$O\left({1\over\epsilon} \left({\log(1/\delta)\log\log\log(1/\delta) \over \log\log(1/\delta)}\right)^2\right).$$ 我们还改进了生成该矩阵所需的随机性数量。我们的结果是通过将 2 阶 Rademacher 混沌的矩与随机欧拉多重图的组合性质相联系而获得的。通过估计随机多重图由给定数量的节点不相交欧拉分量组成的概率，导出了关于该混沌的一个新尾界。我们的估计可能具有独立的意义，并且由于这部分论证与混沌系数的分析是解耦的，我们相信我们的方法可用于分析其他混沌。