几乎最优的无限制快速Johnson-Lindenstrauss变换
数据结构与算法
2010-06-01 v1
摘要
随机投影和稀疏重构问题有许多共同点，并且各自受到了广泛关注。令人惊讶的是，直到现在它们仍并行发展，且基本保持独立。在此，我们利用巴拿赫空间中概率论的新工具（这些工具已成功应用于稀疏重构领域）来推进随机投影中的一个开放问题。特别地，我们推广并使用了Rudelson和Vershynin在稀疏重构中的一个复杂结果，该结果利用Dudley定理来界定高斯过程。我们的主要结果表明，n维空间中任意N = exp(Õ(n))个实向量的集合可以线性映射到维度k = O(log N polylog(n))的空间，同时(1)保持向量间的成对距离在任意常数失真内，并且(2)能够在每个向量上以O(n log n)的时间应用该变换。这改进了Ailon和Liberty达到的最佳结果N = exp(Õ(n^{1/2}))以及Ailon和Chazelle达到的N = exp(Õ(n^{1/3}))。然而，对失真常数的依赖被认为不是最优的，有待进一步研究。对于常数失真，这解决了这些作者提出的开放问题，仅相差一个polylog(n)因子，同时大大简化了他们的构造。
引用
@article{arxiv.1005.5513,
title = {Almost Optimal Unrestricted Fast Johnson-Lindenstrauss Transform},
author = {Nir Ailon and Edo Liberty},
journal= {arXiv preprint arXiv:1005.5513},
year = {2010}
}