一种使用快速哈希的稀疏 Johnson-Lindenstrauss 变换

Kane 与 Nelson (SODA 2012) 的稀疏 Johnson-Lindenstrauss 变换(Sparse Johnson-Lindenstrauss Transform)提供了一个线性降维映射 $A \in \mathbb{R}^{m \times u}$，在 $\ell_2$ 下以概率 $1 - \delta$ 保持距离至多达 $1 + \varepsilon$ 的失真，其中 $m = O(\varepsilon^{-2} \log 1/\delta)$ 且 $A$ 的每一列有 $O(\varepsilon m)$ 个非零项。先前对稀疏 Johnson-Lindenstrauss 变换的分析都假设可访问一个 $\Omega(\log 1/\delta)$ 阶独立的哈希函数。本文的主要贡献是对稀疏 Johnson-Lindenstrauss 变换在更少哈希函数假设下的更一般分析。我们还展示了 Dahlgaard、Knudsen、Rotenberg 和 Thorup (FOCS 2015) 的混合表哈希函数(Mixed Tabulation hash function)满足我们分析的条件，从而给出了首个使用实用哈希函数的稀疏 Johnson-Lindenstrauss 变换分析。