稀疏的约翰逊-林登斯特劳斯变换

降维是一种关键的算法工具，具有许多应用，包括最近邻搜索、压缩感知和流式模型中的线性代数。在这项工作中，我们获得了降维基本工具——约翰逊-林登斯特劳斯变换的一个稀疏版本。通过使用哈希和局部致密化，我们构建了一个每列仅有 $\tilde{O}(\frac{1}{\epsilon})$ 个非零项的稀疏投影矩阵。我们还针对一大类投影矩阵给出了稀疏性的匹配下界。考虑到已知的关于任何投影矩阵的行数以及自然构造生成的投影矩阵的稀疏性的下界均为 $\Omega(\frac{1}{\epsilon^2})$，我们的界有些令人惊讶。利用这一点，我们为 $(1\pm\epsilon)$-近似投影实现了每个非零元素 $\tilde{O}(\frac{1}{\epsilon})$ 的更新时间，从而显著优于先前方法所需的 $\tilde{O}(\frac{1}{\epsilon^2})$ 更新时间。我们方法的一个变体为稀疏向量提供了相同的保证，但其 $\tilde{O}(d)$ 最坏情况运行时间与 Ailon 和 Liberty 的最佳方法相匹配。