快速 Johnson-Lindenstrauss 变换更快了

Ailon 与 Chazelle（SICOMP'09）开创性的快速 Johnson-Lindenstrauss（Fast JL）变换将 $d$ 维欧氏空间中的 $n$ 个点集嵌入到最优的 $k=O(\varepsilon^{-2} \ln n)$ 维中，同时将全部成对距离保持在因子 $(1 \pm \varepsilon)$ 以内。Fast JL 变换支持在 $O(d \ln d +k \ln^2 n)$ 时间内计算数据点的嵌入，其中 $d \ln d$ 项来自与 $d \times d$ Hadamard 矩阵相乘，$k \ln^2 n$ 项来自与稀疏 $k \times d$ 矩阵相乘。尽管 Fast JL 变换已有十余年历史，对于 $\varepsilon, d$ 和 $n$ 之间许多权衡而言，它仍是最快的降维技术之一。本工作中，我们给出了对 Fast JL 变换令人惊讶的新分析，表明嵌入时间中的 $k \ln^2 n$ 项可改进为 $(k \ln^2 n)/\alpha$，其中 $\alpha = \Omega(\min\{\varepsilon^{-1}\ln(1/\varepsilon), \ln n\})$。该改进通过使用更稀疏的矩阵实现。我们还以低界补充了改进分析，表明新分析事实上是紧的。