关于无限集快速JL嵌入的扩展集中不等式

Johnson-Lindenstrauss（JL）引理允许将高维空间的子集嵌入到低维空间中，同时近似保持所有成对欧几里得距离。这一重要结果启发了大量文献，其中很大一部分致力于构造具有快速矩阵-向量乘法算法的结构化随机矩阵，以生成有限点集的此类嵌入。在本文中，我们简要考虑$\mathbb{R}^d$中{\it无限}子集的快速JL嵌入矩阵。此方向的先前工作（如\cite{oymak2018isometric, mendelson2023column}）集中于通过将具有RIP（类）性质的结构化矩阵$H \in \mathbb{R}^{k \times d}$与随机对角矩阵$D \in \mathbb{R}^{d \times d}$相乘来构造快速JL矩阵$HD \in \mathbb{R}^{k \times d}$。然而，以这种方式利用RIP（类）矩阵$H$必然产生一个不幸的副作用：无论要嵌入的无限集多么简单，得到的嵌入维度$k$必须依赖于环境维度$d$。受此启发，我们在此探索一种替代策略来消除$k$对$d$的依赖：扩展Ailon和Liberty\cite{Ailon2008fast}证明的一个集中不等式，希望以后在链式论证中使用它来获得无限集的近最优结果。尽管这一策略最终未能提供我们寻求的近最优嵌入维度，但在此过程中，我们获得了\cite{Ailon2008fast}中集中不等式的超亚指数扩展，这可能具有独立意义。