用于聚类与子空间近似的 Johnson-Lindenstrauss 引理:从核集到降维

我们研究 Johnson-Lindenstrauss 变换在各种投影聚类问题中的效果,推广了仅适用于基于中心的聚类的近期结果 [MMR19]。我们提出一般性问题:对于一个欧几里得优化问题和精度参数 $\epsilon \in (0, 1)$,使得 Johnson-Lindenstrauss 变换 $\Pi \colon \mathbb{R}^d \to \mathbb{R}^t$ 将最优解代价保持到 $(1+\epsilon)$ 因子内的最小目标维数 $t \in \mathbb{N}$ 是多少。我们给出一种利用核集(coreset)构造来分析 Johnson-Lindenstrauss 变换效果的新技术。我们的技术除适用于基于中心的聚类外,改进了(或是首个处理)其他欧几里得优化问题,包括:$\bullet$ 对于 $(k,z)$-子空间近似:我们证明 $t = \tilde{O}(zk^2 / \epsilon^3)$ 足够,而先前最优界 $O(k/\epsilon^2)$ 仅适用于 $z = 2$ 的情况 [CEMMP15]。$\bullet$ 对于 $(k,z)$-平面近似:我们证明 $t = \tilde{O}(zk^2/\epsilon^3)$ 足够,完全去除了先前界 $\tilde{O}(zk^2 \log n/\epsilon^3)$ [KR15] 中对 $n$ 的依赖。$\bullet$ 对于 $(k,z)$-直线近似:我们证明 $t = O((k \log \log n + z + \log(1/\epsilon)) / \epsilon^3)$ 足够,且我们的结果是首个给出任何降维结果的。