面向聚类的降维：离散中心的奇特案例
数据结构与算法
2026-02-20 v1
摘要
Johnson-Lindenstrauss变换是欧几里得空间中降维的基本方法，它可以将任何包含n个点的数据集映射到O(log n)维，同时保持点间距离的低失真。这个维度界限通常是紧的，但对于特定问题可以绕过。事实上，在聚类问题方面已经取得了巨大进展，尤其是在中心可以从环境空间R^d中选取的连续设置中。最值得注意的是，对于k-median和k-means，维度界限已改进为O(log k) [Makarychev, Makarychev and Razenshteyn, STOC 2019]。我们探索了在离散设置下的聚类降维，其中中心只能从数据集中选取，并提出了两个结果，这两个结果都由数据集的倍增维度（记为ddim）参数化。第一个结果表明，维度O_ε(ddim + log k + log log n)足以保证对于每一组中心，代价都能在1±ε因子内得以保持，并且这个界限是紧的。我们的第二个结果通过放宽保证条件（即仅对所有近似最优的中心集保持代价）消除了维度中的log log n项，这保持了其对下游应用的实用性。总的来说，我们在离散设置下实现了强降维，并发现它与连续设置的不同之处不仅在于依赖于倍增维度的维度界限，还在于超越保持最优值的保证，例如哪些聚类结果得以保持。
引用
@article{arxiv.2509.07444,
title = {Dimension Reduction for Clustering: The Curious Case of Discrete Centers},
author = {Shaofeng H. -C. Jiang and Robert Krauthgamer and Shay Sapir and Sandeep Silwal and Di Yue},
journal= {arXiv preprint arXiv:2509.07444},
year = {2026}
}
备注
35 pages