基于序数与有限基数信息的低失真聚类

受计算社会选择领域近期工作的启发，我们将度量失真框架扩展至聚类问题。给定位于某底层度量空间中的 $n$ 个智能体集合，我们的目标是将它们划分为 $k$ 个簇，以优化某种社会成本目标。该度量空间由智能体位置间的距离函数 $d$ 定义。关于 $d$ 的信息仅通过 $n$ 个排序隐式可用，其中每个智能体根据其他智能体与自身的距离对其进行排序。尽管如此，我们仍希望使用由 $d$ 定义的社会成本目标来评估聚类算法。这是通过失真的概念来实现的，该概念衡量在考虑与可用序数信息一致的所有底层度量的情况下，聚类距离最优性有多远。遗憾的是，最重要的聚类目标不存在具有有限失真的算法。为了规避这一令人失望的事实，我们采用了两种替代方法：我们首先探讨资源增强是否有益。我们考虑使用超过 $k$ 个簇的算法，但将其社会成本与最优 $k$-聚类的社会成本进行比较。我们证明，使用（相对于 $k$ 的）指数级数量的簇，可以在 $k$-中心和 $k$-中位数目标下获得低（常数或对数级）失真。有趣的是，我们证明了这种指数级膨胀是必要的。更重要的是，我们探讨了是否可以使用有限的基数信息来获得更好的结果。令人惊讶的是，对于 $k$-中位数和 $k$-中心，我们证明了数量在 $k$ 上呈多项式且在 $n$ 上仅为对数级（即在实际最相关的场景中，数量仅为智能体数量的次线性）的查询足以获得常数失真。