基于限制等距性质的新改进 Johnson-Lindenstrauss 嵌入

考虑一个 $m \times N$ 矩阵 $\Phi$，其具有阶数为 $k$、水平为 $\delta$ 的限制等距性质，即在应用 $\Phi$ 时，$\mathbb{R}^N$ 中任意 $k$ 稀疏向量的范数被保持在 $1 \pm \delta$ 的乘性因子范围内。我们证明，通过对该矩阵 $\Phi$ 的列符号进行随机化，所得映射以高概率将 $\mathbb{R}^N$ 中任意固定的 $p = O(e^k)$ 个点集合嵌入到 $\mathbb{R}^m$ 中，且集合中任意点的范数畸变不超过 $1 \pm \delta$ 的因子。因此，具有限制等距性质且列符号随机化的矩阵提供了直至 $N$ 的对数因子为止最优的 Johnson-Lindenstrauss 嵌入。特别地，我们的结果改进了一大类结构化随机矩阵所需嵌入维数 $m$ 的已知最佳界限；对于部分傅里叶矩阵和部分 Hadamard 矩阵，我们将 Ailon 和 Liberty 中出现的最新界限 $m = O(\delta^{-4} \log(p) \log^4(N))$ 改进为 $m = O(\delta^{-2} \log(p) \log^4(N))$，这在直至 $N$ 的对数因子意义上是最优的。我们的结果还直接应用于冗余字典的压缩感知领域。