子采样傅里叶矩阵的限制等距性质

矩阵 $A \in \mathbb{C}^{q \times N}$ 满足阶为 $k$、常数为 $\varepsilon$ 的限制等距性质，如果它以 $1\pm \varepsilon$ 的因子保留所有 $k$-稀疏向量的 $\ell_2$ 范数。我们证明，从 $N \times N$ 傅里叶矩阵中随机采样 $q = O(k \cdot \log^2 k \cdot \log N)$ 行得到的矩阵 $A$，以高概率满足阶为 $k$、固定 $\varepsilon$ 的限制等距性质。这改进了Rudelson和Vershynin (Comm. Pure Appl. Math., 2008)、其后续改进以及Bourgain (GAFA Seminar Notes, 2014)的结果。