傅里叶矩阵的受限等距性与随机线性码的列表可解码性
信息论
2012-07-06 v1 组合数学
math.IT
概率论
摘要
我们证明了在 F_q 上的随机线性码以任意接近 1 的概率在半径 (1-1/q-\epsilon) 处是列表可解码的，其列表大小为 L=O(1/\epsilon^2)，码率为 R=\Omega_q(\epsilon^2/(log^3(1/\epsilon)))。除了 (1/\epsilon) 中的多对数因子和依赖于 q 的常数因子外，这与列表大小的下界 L=\Omega_q(1/\epsilon^2) 和码率的上界 R=O_q(\epsilon^2) 相匹配。此前仅知对于特殊情况 q=2（Guruswami, H{\aa}stad, Sudan 和 Zuckerman, 2002）存在（而非丰富性）此类码。为了获得我们的结果，我们采用了列表解码中著名的 Johnson 界的一个松弛版本，该版本将码字之间的平均汉明距离转化为列表解码保证。此外，我们证明了只要编码码字的自然复矩阵满足关于欧几里得范数的受限等距性质（RIP-2），代码就具有所需的平均距离保证。对于随机二元线性码的情况，该矩阵 coincide 于压缩感知文献中广泛研究的 Hadamard-Walsh 变换矩阵的随机子矩阵。最后，我们改进了 Rudelson 和 Vershynin (2008) 关于精确重构长度为 N 的 k-稀疏信号所需随机频率样本数量的分析。具体而言，我们将样本数量从 O(k log(N) log^2(k) (log k + loglog N)) 改进为 O(k log(N) log^3(k))。证明涉及通过使用对该过程定义的度量的改进分析来界定相关高斯过程的期望上确界。这一改进对于我们列表解码的应用至关重要。
引用
@article{arxiv.1207.1140,
title = {Restricted Isometry of Fourier Matrices and List Decodability of Random Linear Codes},
author = {Mahdi Cheraghchi and Venkatesan Guruswami and Ameya Velingker},
journal= {arXiv preprint arXiv:1207.1140},
year = {2012}
}
备注
Preliminary full version