满足统计等距性质的一大类确定性感知矩阵的构造

压缩感知旨在利用极少的测量捕获$k$-稀疏信号的属性。在标准压缩感知范式中，$\m\times \n$测量矩阵$\A$需要在所有$k$-稀疏信号集上充当近等距（受限等距性质或RIP）。尽管已知某些概率过程能以高概率生成满足RIP的$\m \times \n$矩阵，但尚无实用算法验证给定感知矩阵$\A$是否具有此性质，而这对标准恢复算法的可行性至关重要。相比之下，本文提供了简单准则，保证满足这些准则的确定性感知矩阵在绝大多数$k$-稀疏信号上充当近等距；特别是，大多数此类信号在测量域中具有唯一表示。概率仍然起着关键作用，但它进入信号模型而非感知矩阵的构造。我们要求感知矩阵的列在逐点乘法下构成一个群。该构造允许恢复方法的期望性能在$\n$上是次线性的，在$\m$上仅为二次的；对期望性能的关注更符合主流信号处理的特点，而非标准压缩感知中盛行的最坏情况分析。我们的框架涵盖了许多确定性感知矩阵族，包括由离散啁啾、Delsarte-Goethals码和扩展BCH码形成的矩阵。