一般 $p$-范数的限制等距性质

限制等距性质 (RIP) 是矩阵 enabling 稀疏恢复的基本性质。非正式地，若对于每个至多有 $k$ 个非零坐标的向量 $x$，都有 $\|Ax\|_p \approx \|x\|_p$，则称 $m \times n$ 矩阵满足 $\ell_p$ 范数下阶数为 $k$ 的 RIP。对于每个 $1 \leq p < \infty$，我们获得了使 RIP 性质成立所需的最小行数 $m$ 的几乎紧确界。在此之前，仅研究了 $p = 1$、$1 + 1 / \log k$ 和 $2$ 的情况。有趣的是，我们的结果表明 $p = 2$ 是一个“奇点”：对于所有 $p\in [1,\infty)\setminus \{2\}$，最优行数 $m$ 为 $\widetilde{\Theta}(k^{p})$，而 $k=2$ 时为 $\widetilde{\Theta}(k)$。我们还获得了 RIP 矩阵列稀疏度的几乎紧确界，并讨论了我们结果对稳定稀疏恢复 (Stable Sparse Recovery) 问题的影响。