认证受限等距性质的计算复杂性

给定一个具有 $n$ 行的矩阵 $A$，一个数 $k<n$，以及 $0<\delta < 1$，如果对于任何具有最多 $k$ 个非零坐标的向量 $x \in \mathbb{R}^n$，满足 $$(1-\delta) \|x\|_2 \leq \|A x\|_2 \leq (1+\delta)\|x\|_2$$ 则称 $A$ 具有 $(k,\delta)$-RIP（受限等距性质）。在许多应用中，如压缩感知和稀疏恢复，构造具有大 $k$ 和小 $\delta$ 的 RIP 矩阵是可取的。鉴于随机构造在生成有用 RIP 矩阵方面的有效性，认证矩阵 RIP 参数的问题变得尤为重要。在本文中，我们证明了在小集扩展假设 (Small-Set-Expansion-Hypothesis) 下，近似矩阵的 RIP 参数是困难的。具体而言，我们证明了对于任意大的常数 $C>0$ 和任意小的常数 $0<\delta<1$，存在某个 $k$，使得给定矩阵 $M$，区分以下两种情况是 SSE-难的：- (高度 RIP) $M$ 是 $(k,\delta)$-RIP。- (远离 RIP) $M$ 不是 $(k/C, 1-\delta)$-RIP。此前关于 RIP 认证困难性的结果大多仅适用于 $\delta=o(1)$ 时的认证。在实践中，了解认证 $\delta$ 接近 $\sqrt{2}-1$ 的矩阵的复杂性很有意义，因为对于许多实际应用而言，拥有 $\delta = \sqrt{2}-1$ 的矩阵就足够了。我们的困难性结果适用于任何常数 $\delta$。具体而言，我们的结果证明，即使 $\delta$ 确实非常小，即矩阵实际上是\emph{强 RIP}，认证该矩阵表现出\emph{弱 RIP} 本身也是 SSE-难的。为了证明这一困难性结果，我们证明了针对稀疏向量的 Cheeger 不等式的一个变体。